Андрій Миколайович Колмогоров був російським математиком, чиї роботи вплинули на багато галузей сучасної математики, особливо на гармонічний аналіз, теорію ймовірностей, теорію множин, теорію інформації та теорію чисел. Він був людиною з широким спектром інтересів, займався технікою, історією та освітою, активно брав участь у реформі шкільної освіти в Радянському Союзі. Найбільше його пам’ятають завдяки блискучій серії робіт з теорії ймовірностей.
Життя
Мати Колмогорова померла під час його народження, його виховувала її сестра, і він взяв прізвище свого діда по матері. Коли йому було сім років, його тітка переїхала з ним до Москви, де у нього проявився ранній інтерес до біології та історії. У 1920 році, ще не визначившись зі своєю кар’єрою, він одночасно вступив до Московського державного університету для вивчення історії та математики, а також до Хіміко-технологічного інституту імені Менделєєва для вивчення металургії. Однак незабаром він виявив надзвичайний талант до математики і спеціалізувався в цій галузі. Будучи дев’ятнадцятирічним студентом, він був призначений викладати математичні та фізичні предмети в Потєхінській експериментальній школі, і до закінчення навчання в 1925 році опублікував 10 математичних робіт, більшість з яких стосувалися тригонометричних рядів, що є надзвичайним досягненням для студента. Ця вражаюча математична творчість продовжилася і в аспірантурі, де до 1928 року він написав ще вісім робіт. Найважливішою з цих робіт була Загальна теорія міри та теорія ймовірностей, метою якої було створення суворої аксіоматичної основи ймовірності. Пізніше він розширив її до впливової монографії Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1933, Основи теорії ймовірностей, 1950).
У 1929 році, після захисту докторської дисертації, Колмогоров був обраний членом Інституту математики та механіки Московського державного університету, з яким він залишався пов’язаним до кінця свого життя. У 1931 році, після радикальної реструктуризації московської математичної спільноти, він був обраний професором. Через два роки він був призначений директором Математичного науково-дослідного інституту при університеті, яким він був до 1939 року, і знову з 1951 по 1953 рік. У 1938 році його було обрано керівником нового відділу ймовірностей та статистики в Математичному інституті імені В. А. Стеклова Академії наук СРСР у Москві (нині Російська академія наук), і він обіймав цю посаду до 1958 року. У 1939 році він був обраний до Академії наук, а в 1946-1949 роках також був керівником лабораторії турбулентності в Інституті теоретичної геофізики Академії наук СРСР у Москві.
Математичні дослідження
З багатьох галузей чистого та прикладного математичного дослідження, до яких Колмогоров зробив внесок, теорія ймовірностей, безсумнівно, є найважливішою, як з точки зору глибини, так і з точки зору широти його внесків. Окрім робіт з основ ймовірності, він зробив внесок у дослідження стохастичних процесів, особливо марковських процесів. У марковських процесах на ймовірність майбутніх станів впливає лише поточний стан, про стани тому говорять, що вони не зберігають жодної «пам’яті» про минулі події. Колмогоров винайшов пару функцій, які характеризують ймовірності переходу для марковського процесу, і показав, що вони дорівнюють тому, що він назвав «миттєвим середнім значенням» та «миттєвою дисперсією». За допомогою цих функцій він зміг написати набір рівнянь у частинних похідних для визначення ймовірностей переходу з одного стану в інший. Ці рівняння надали абсолютно новий підхід до застосування теорії ймовірностей у фізиці, хімії, будівництві та біології. Наведемо два приклади: у 1937 році Колмогоров опублікував статтю про використання статистичної теорії для вивчення процесу кристалізації, а наступного року опублікував статтю з математичної біології, в якій використав розгалужений стохастичний процес для опису асимптотичної ймовірності вимирання виду за велику кількість поколінь.
Інтерес Колмогорова до проблем турбулентності в рідинах (турбулентний потік) з’явився наприкінці 1930-х років, коли він усвідомив, що нещодавно розроблена стохастична теорія поля буде релевантною для цих проблем. У 1941 та 1942 роках він зробив чотири роботи в цій галузі, в яких його внесок був примножений талановитою групою співробітників, які працювали під його керівництвом. Протягом 1930-х років, коли Колмогоров продовжував плідну творчість статей на конкретні математичні теми, він почав писати статті з методологічних питань, що стосуються теорій дійсного аналізу та ймовірностей. Він також почав писати пояснювальні статті для енциклопедій та журналів, призначених для широкої аудиторії. Після закінчення Другої світової війни, коли він утвердився як один з провідних радянських математиків, він почав писати статті історичного та філософського змісту. У 1950-х роках він зробив внесок у понад 80 статей до другого видання Великої радянської енциклопедії.
У середині 1950-х років Колмогоров почав займатися проблемами теорії інформації. Частково його надихнули попередні роботи американського інженера Клода Шеннона. У співпраці з Ізраїлем Гельфандом та Аківою Ягломом йому вдалося дати математичне визначення поняття кількості інформації. У 1960-х роках він почав писати статті з теорії автоматів та теорії алгоритмів. Широта його інтересів підтверджується статтями, які він написав у цей час про метричну структуру деяких шедеврів російської поезії.
Наприкінці 1960-х років Колмогоров увійшов до теорії педагогіки, в якій мав величезний вплив завдяки своїм підручникам та діяльності в Академії педагогічних наук СРСР. Він був співавтором та рецензентом шкільних підручників та активно брав участь у реформі навчальних програм з математики в радянських школах. Хоча він страждав на хворобу Паркінсона і в останні роки свого життя майже осліп, до самої смерті він активно цікавився математичним світом.